If the complex numbers z for which $\arg \left[\frac{3\mathrm{z}-6-3\mathrm{i}}{2\mathrm{z}-8-6\mathrm{i}}\right]=\frac{\mathrm{\pi }}{4}\text{ and }|\mathrm{z}-3+\mathrm{i}|=3,\text{ are }\left(\mathrm{k}-\frac{4}{\sqrt{5}}\right)+\mathrm{i}\left(1+\frac{2}{\sqrt{5}}\right)$ and $\left(\mathrm{k}+\frac{4}{\sqrt{5}}\right)+\mathrm{i}\left(1-\frac{2}{\sqrt{5}}\right)$ then k must be equal to

$\begin{array}{l}{\tan }^{-1}\left(\frac{\mathrm{y}-1}{\mathrm{x}-2}\right)-{\tan }^{-1}\left(\frac{\mathrm{y}-3}{\mathrm{x}-4}\right)=\tan \frac{\mathrm{\pi }}{4}\\ \frac{\mathrm{y}-1}{\mathrm{x}-2}-\left(\frac{\mathrm{y}-3}{\mathrm{x}-4}\right)=1+\left(\frac{\mathrm{y}-1}{\mathrm{x}-2}\right)\left(\frac{\mathrm{y}-3}{\mathrm{x}-4}\right)\text{; }\\ \text{ i.e. }2\mathrm{x}-2\mathrm{y}-2={\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2-6\mathrm{x}-4\mathrm{y}+11\\ \Rightarrow {\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2-8\mathrm{x}-2\mathrm{y}+13=0\dots .\left(1\right)\\ (\mathrm{x}-3{)}^2+(\mathrm{y}+1{)}^2=3^2\end{array}$
$\text{ and }{\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2-6\mathrm{x}+2\mathrm{y}+1=0---\left(2\right)$
$\text{ (1)-(2) gives }2\mathrm{x}+4\mathrm{y}=12$

$\mathrm{substituting} \left(\mathrm{k}-\frac{4}{\sqrt{5}},1+\frac{2}{\sqrt{5}}\right) \mathrm{in} 2\mathrm{x}+4\mathrm{y}=12\Rightarrow k=4$