If the function $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=2{\mathrm{x}}^3-9{\mathrm{ax}}^2+12{\mathrm{a}}^2\mathrm{x}+1$, where $\mathrm{a}>0,$attains its local maximum and minimum at $p$ and $q$, respectively, such that ${\mathrm{p}}^2=\mathrm{q},$then $a$ equals to

$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=2{\mathrm{x}}^3-9{\mathrm{ax}}^2+12{\mathrm{a}}^2\mathrm{x}+1$
$\therefore {\mathrm{f}}^{\mathrm{\prime }}\left(\mathrm{x}\right)=6{\mathrm{x}}^2-18\mathrm{ax}+12{\mathrm{a}}^2\text{ and }{\mathrm{f}}^{\prime \prime }\left(\mathrm{x}\right)=12\mathrm{x}-18\mathrm{a}$
For maximum/minimum, $6{\mathrm{x}}^2-18\mathrm{ax}+12{\mathrm{a}}^2=0$
or   ${\mathrm{x}}^2-3\mathrm{ax}+2{\mathrm{a}}^2=0$
or   $(\mathrm{x}-\mathrm{a})(\mathrm{x}-2\mathrm{a})=0$
i.e., $x=a$ or $x=2a$ 
Now, ${\mathrm{f}}^{\prime \prime }\left(\mathrm{a}\right)=12\mathrm{a}-18\mathrm{a}=-6\mathrm{a}<0$
and ${\mathrm{f}}^{\prime \prime }\left(2\mathrm{a}\right)=24\mathrm{a}-18\mathrm{a}=6\mathrm{a}>0$
Therefore, $f\left(x\right)$ is maximum at $x=a$ and minimum at $x=2a$. 
Thus, $p=a$ and $q=2a$. 
Given that ${\mathrm{p}}^2=\mathrm{q}\text{ or }{\mathrm{a}}^2=2\mathrm{a}\text{ or }\mathrm{a}(\mathrm{a}-2)=0\text{ or }\mathrm{a}=2$.