If the normal at $\text{'}\mathrm{\theta }\text{'}$ on the hyperbola $\frac{{\mathrm{x}}^2}{{\mathrm{a}}^2}–\frac{{\mathrm{y}}^2}{{\mathrm{b}}^2}= 1$ meets the tansverse axis at G, then AG.A'G =

$$\begin{gathered} Given hyperbola \frac{{\mathrm{x}}^2}{{\mathrm{a}}^2}-\frac{{\mathrm{y}}^2}{{\mathrm{b}}^2}=1 \\ \Rightarrow \mathrm{verties} \mathrm{are} \mathrm{A}=(\mathrm{a}, 0), {\mathrm{A}}^1=(-\mathrm{a}, 0) \\ \mathrm{Equation} \mathrm{of} \mathrm{normal} \mathrm{at} \mathrm{P}\left(\mathrm{\theta }\right) \mathrm{is} \frac{\mathrm{ax}}{\mathrm{sec\theta }}+\frac{\mathrm{by}}{\mathrm{tan\theta }}={\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2 \\ \mathrm{It} \mathrm{cuts} \mathrm{x}-\mathrm{axis} \mathrm{at} \mathrm{G}=\left(\frac{({\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2)\mathrm{sec\theta }}{\mathrm{a}}, 0\right) \\ \mathrm{Now} (\mathrm{A} \mathrm{G}) (\mathrm{A} {\mathrm{G}}^1)=\left|\frac{({\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2\mathrm{sec\theta })}{\mathrm{a}}-\mathrm{a}\right| \left|\frac{({\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2)\mathrm{sec\theta }}{\mathrm{a}}+\mathrm{a}\right| \\ =\left|\frac{a^2+a^2(e^2-1)sec\theta }{a}-a\right|\left|\frac{a^2+a^2(e^2-1)sec\theta }{a}+a\right| \\ =({\mathrm{ae}}^2\mathrm{sec\theta }-\mathrm{a}) ({\mathrm{ae}}^2\mathrm{sec\theta }+\mathrm{a}) \\ ={\mathrm{a}}^2{\mathrm{e}}^4{\sec }^2\mathrm{\theta }-{\mathrm{a}}^2 \\ ={\mathrm{a}}^2({\mathrm{e}}^4{\sec }^2\mathrm{\theta }-1) \end{gathered}$$