If the points $2\overline{\mathrm{a}} +3\overline{\mathrm{b}}-\overline{\mathrm{c}}, \overline{\mathrm{a}}-2\overline{\mathrm{b}} + 3\overline{\mathrm{c}}, 3\overline{\mathrm{a}} + \mathrm{\lambda }\overline{\mathrm{b}}- 2\overline{\mathrm{c}}$ and $\overline{\mathrm{a}}+6\overline{\mathrm{b}}+6\overline{\mathrm{c}}$ are coplanar, then the direction cosines of the vector $\mathrm{\lambda }\overline{\mathrm{i}}-2\mathrm{\lambda }\overline{\mathrm{j}}+\overline{\mathrm{k}}$ are

$$\begin{gathered} \overline{\mathrm{AB}}=-\overline{\mathrm{a}}-5\overline{\mathrm{b}}+4\overline{\mathrm{c}} \\ \overline{\mathrm{AC}}=\overline{\mathrm{a}}+(\mathrm{\lambda }-3)\overline{\mathrm{b}}-\overline{\mathrm{c}} \\ \overline{\mathrm{AD}}=-\overline{\mathrm{a}}+3\overline{\mathrm{b}}+7\overline{\mathrm{c}} \\ \left|\begin{array}{ccc}-1& -5& 4\\ 1& \mathrm{\lambda }-3& -1\\ -1& 3& 7\end{array}\right|=0 \Rightarrow -1(7\mathrm{\lambda }-21+3)+5(7-1)+4(3+\mathrm{\lambda }-3)=0 \\ \Rightarrow -7\mathrm{\lambda }+18+30+4\mathrm{\lambda }=0 \Rightarrow 3\mathrm{\lambda }=-48 \\ \Rightarrow \mathrm{\lambda }=-16 \end{gathered}$$