If the roots $a(b-c)x^2+b(c-a)x+c(a-b)=0$ are equal, then a, b, c are in 

$a(b-c)x^2+b(c-a)x+c(a-b)=0$

$a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)=0$

Then roots are $1,\frac{c(a-b)}{a(b-c)}$

$\Rightarrow 1=\frac{ac-bc}{ab-ac}$

$\Rightarrow ab-ac=ac-bc$

$\Rightarrow 2ac=b(a+c)$

$b=\frac{2ac}{a+c}$

$\therefore$ $a,b,c$ are in H.P