If the solution of ${\mathrm{cosec}}^2\mathrm{x}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}-\frac{1}{\mathrm{y}}=0$ is $\mathrm{ax} + \mathrm{b} \mathrm{x} + {\mathrm{cy}}^2 = \mathrm{k}, \mathrm{a} > 0$ then ascending order of a,b,c is

$\begin{array}{rcl}{\mathrm{cosec}}^2\mathrm{x}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}-\frac{1}{\mathrm{y}}& =& 0\\ & \Rightarrow & {\mathrm{cosec}}^2\mathrm{x} \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{1}{\mathrm{y}}\\ & \Rightarrow & \mathrm{y} \mathrm{dy}=\frac{1}{{\mathrm{cosec}}^2\mathrm{x}} \mathrm{dx}\\ & \Rightarrow & \mathrm{y} \mathrm{dy}={\sin }^2 \mathrm{x} \mathrm{dx}\\ \int \mathrm{y} \mathrm{dy}& =& \int \frac{(1-\cos 2\mathrm{x})}{2}\mathrm{dx}\end{array}$

$\begin{array}{rcl} & \Rightarrow & \frac{{\mathrm{y}}^2}{2}=\frac{1}{2}\left[\mathrm{x}-\frac{\sin 2\mathrm{x}}{2}\right]\\ & \Rightarrow & 2{\mathrm{y}}^2=2\mathrm{x}-\sin 2\mathrm{x}+2\mathrm{c}\\ & \Rightarrow & 2\mathrm{c}=2\mathrm{x}-\sin 2\mathrm{x}-2{\mathrm{y}}^2\\ \mathrm{K}& =& \mathrm{ax}+\mathrm{b} \sin 2\mathrm{x}+{\mathrm{cy}}^2\\ \therefore \mathrm{K}& =& 2\mathrm{c}, \mathrm{a}=2, \mathrm{b}=-1, \mathrm{c}=-2\\ \mathrm{c}& <& \mathrm{b}<\mathrm{a}\\ & \Rightarrow & \mathrm{c}, \mathrm{b}, \mathrm{a}\end{array}$