If the sum of m terms of an A.P. is same as the sum of its n terms, then sum of its (m + n) terms is 
 

$$\begin{gathered} {\mathrm{S}}_{\mathrm{m}}={\mathrm{S}}_{\mathrm{n}} \\ \frac{\mathrm{m}}{2}\left(2\mathrm{a}+(\mathrm{m}-1)\mathrm{d}\right) \\ =\frac{\mathrm{n}}{2}\left(2\mathrm{a}+(\mathrm{n}-1)\mathrm{d}\right) \\ 2\mathrm{am}+\left({\mathrm{m}}^2-\mathrm{m}\right)\mathrm{d} \\ =2\mathrm{an}+\left({\mathrm{n}}^2-\mathrm{n}\right) \mathrm{d} \\ 2\mathrm{a}(\mathrm{m}-\mathrm{n})+\left({\mathrm{m}}^2-\mathrm{m}-{\mathrm{n}}^2+\mathrm{n}\right)\mathrm{d}=0 \\ 2\mathrm{a}(\mathrm{m}-\mathrm{n})+(\mathrm{m}-\mathrm{n}) (\mathrm{m}+\mathrm{n})-(\mathrm{m}-\mathrm{n})\mathrm{d}=0 \\ 2\mathrm{a}+(\mathrm{m}+\mathrm{n}-1)\mathrm{d}=0 \\ {\mathrm{S}}_{\mathrm{m}+\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{m}+\mathrm{n}}{2}\left[2\mathrm{a}+\left(\mathrm{m}+\mathrm{n}-1\right)\mathrm{d}\right] \\ =0 \end{gathered}$$