If the two circles ${\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2+2\mathrm{gx}+2\mathrm{fy}=0$ and ${\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2+2{\mathrm{g}}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{x}+2{\mathrm{f}}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{y}=0$ touch each other then show  that ${\mathrm{f}}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{g}={\mathrm{fg}}^{\mathrm{\prime }}$

Given circles are
$\mathrm{S}={\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2+2\mathrm{gx}+2\mathrm{fy}=0.....\left(1\right)$
centre ${\mathrm{C}}_1=(-\mathrm{g},-\mathrm{f}), {\mathrm{r}}_1=\sqrt{{\mathrm{g}}^2+{\mathrm{f}}^2}$
${\mathrm{S}}^{\text{'}} = {\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2+2{\mathrm{g}}^{\text{'}}\mathrm{x}+2{\mathrm{f}}^{\text{'}}\mathrm{y}=0....\left(2\right)$
centre ${\mathrm{c}}_2=\left(-{\mathrm{g}}^{\text{'}},-{\mathrm{f}}^{\text{'}}\right), {\mathrm{r}}_2=\sqrt{{\mathrm{g}}^{1^2}+{\mathrm{f}}^{1^2}}$
Since (1) & (2) touch each other then
$\begin{array}{l}{\mathrm{c}}_1{\mathrm{c}}_2={\mathrm{r}}_1\pm {\mathrm{r}}_2\\ \Rightarrow \sqrt{{\left(-{\mathrm{g}}^{\mathrm{\prime }}+\mathrm{g}\right)}^2+{\left(-{\mathrm{f}}^{\mathrm{\prime }}+\mathrm{f}\right)}^2}=\sqrt{{\mathrm{g}}^2+{\mathrm{f}}^2}\pm \sqrt{{{\mathrm{g}}^1}^2+{{\mathrm{f}}^1}^2}\end{array}$
squaring on b.s.
${\left(-{\mathrm{g}}^{\text{'}}+\mathrm{g}\right)}^2+{\left(-{\mathrm{f}}^{\text{'}}+\mathrm{f}\right)}^2=\left({\mathrm{g}}^2+{\mathrm{f}}^2\right)+\left({{\mathrm{g}}^1}^2+{{\mathrm{f}}^1}^2\right)\pm 2\sqrt{{\mathrm{g}}^2+{\mathrm{f}}^2}\sqrt{{{\mathrm{g}}^1}^2+{{\mathrm{f}}^1}^2}.$
$\begin{array}{l}\Rightarrow {{\mathrm{g}}^1}^{{\mathrm{\prime }}^2}+{\mathrm{g}}^2-2{\mathrm{gg}}^{\mathrm{\prime }}+{\mathrm{f}}^{\mathrm{\prime }2}+{\mathrm{f}}^2-2{\mathrm{ff}}^{\mathrm{\prime }}={\mathrm{g}}^2+{\mathrm{f}}^2+{\mathrm{g}}^{\mathrm{\prime }2}+{\mathrm{f}}^{\mathrm{\prime }2}\pm 2\sqrt{{\mathrm{g}}^2+{\mathrm{f}}^2}\sqrt{{\mathrm{g}}^{\mathrm{\prime }2}+{\mathrm{f}}^{\mathrm{\prime }2}}\\ \Rightarrow -2\left({\mathrm{gg}}^{\mathrm{\prime }}+{\mathrm{ff}}^{\mathrm{\prime }}\right)=\pm 2\sqrt{{\mathrm{g}}^2+{\mathrm{f}}^2}\sqrt{{\mathrm{g}}^{\mathrm{\prime }2}+{\mathrm{f}}^{\mathrm{\prime }2}}\end{array}$
Again squaring on b.s
$\begin{array}{l}{\left({\mathrm{gg}}^{\mathrm{\prime }}+{\mathrm{ff}}^{\mathrm{\prime }}\right)}^2=\left({\mathrm{g}}^2+{\mathrm{f}}^2\right)\left({\mathrm{g}}^{\mathrm{\prime }2}+{\mathrm{f}}^{\mathrm{\prime }2}\right)\\ \Rightarrow {\mathrm{g}}^2{\mathrm{g}}^{\mathrm{\prime }2}+{\mathrm{f}}^2{\mathrm{f}}^{\mathrm{\prime }2}+2{\mathrm{gg}}^{\mathrm{\prime }}{\mathrm{ff}}^{\mathrm{\prime }}={\mathrm{g}}^2{\mathrm{g}}^{\mathrm{\prime }2}+{\mathrm{g}}^2{\mathrm{f}}^{\mathrm{\prime }2}+{\mathrm{g}}^{\mathrm{\prime }2}{\mathrm{f}}^2+{\mathrm{f}}^2{\mathrm{f}}^{\mathrm{\prime }2}\\ \Rightarrow {\mathrm{g}}^2{\mathrm{f}}^{\mathrm{\prime }2}+{\mathrm{g}}^{\mathrm{\prime }2}{\mathrm{f}}^2-2{\mathrm{gg}}^{\mathrm{\prime }}{\mathrm{ff}}^{\mathrm{\prime }}=0.\\ \Rightarrow {\left({\mathrm{gf}}^{\mathrm{\prime }}-{\mathrm{fg}}^{\mathrm{\prime }}\right)}^2=0\\ \Rightarrow {\mathrm{gf}}^{\mathrm{\prime }}-{\mathrm{fg}}^{\mathrm{\prime }}=0\\ \Rightarrow {\mathrm{gf}}^{\mathrm{\prime }}={\mathrm{fg}}^{\mathrm{\prime }}\end{array}$