If three sides of trapezium are each equal to 2cm, then the maximum area of the trapezium is

area trapezium is

$$\begin{gathered} \mathrm{A}=2\left(\frac{1}{2}\times \mathrm{x}\times \sqrt{4-{\mathrm{x}}^2}\right)+2\times 2\mathrm{x}\sqrt{4-{\mathrm{x}}^2} \\ \mathrm{A}=(\mathrm{x}+2)\sqrt{4-{\mathrm{x}}^2} \\ {\mathrm{A}}^2={(\mathrm{x}+2)}^2 (2-\mathrm{x}) (2+\mathrm{x}) \\ {\mathrm{A}}^2={(\mathrm{x}+2)}^3 (2-\mathrm{x}) \end{gathered}$$

let $\mathrm{S}={\mathrm{A}}^2={(\mathrm{x}+2)}^3(2-\mathrm{x})$

${\mathrm{S}}^1={(\mathrm{x}+2)}^3(-1)+3{(\mathrm{x}+2)}^2(2-\mathrm{x})$

S is min or max

$$\begin{gathered} \Rightarrow {\mathrm{S}}^1=0 \\ 3{(\mathrm{x}+2)}^2 (2-\mathrm{x})={(\mathrm{x}+2)}^3 6-3\mathrm{x}=\mathrm{x}+2 \\ 4\mathrm{x}=4\Rightarrow \mathrm{x}=1 \end{gathered}$$

max area

$$\begin{gathered} \mathrm{A}=(\mathrm{x}+2) \sqrt{4-{\mathrm{x}}^2} \\ =3\sqrt{4-1}=3\sqrt{3} \end{gathered}$$