If vectors $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ satisfy the condition $|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}|=|\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}|$

then $(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})\cdot \left(\overrightarrow{c}-\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{2}\right)$ is equal to

$(\overline{a}-\overrightarrow{b})\cdot \left(\overrightarrow{c}-\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{2}\right)=\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}\left(\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{2}\right)-\overrightarrow{a}\overrightarrow{c}+\frac{\overrightarrow{a}}{2}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})$

and $|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}|=|\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}|\Rightarrow |\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}{|}^2=|\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}{|}^2$

$\therefore \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=2\overrightarrow{c}$

Therefore, $(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})\cdot \left(\overrightarrow{c}-\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{2}\right)=0$