If x = x(y) is the solution of the differential equation $\mathrm{y}\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dy}}=2\mathrm{x}+{\mathrm{y}}^3(\mathrm{y}+1){\mathrm{e}}^{\mathrm{y}},\mathrm{x}\left(1\right)=0$then x(e)is equal to :

$\begin{array}{l}\mathrm{y}\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dy}}=2\mathrm{x}+{\mathrm{y}}^3(\mathrm{y}+1){\mathrm{e}}^{\mathrm{y}},\mathrm{x}\left(1\right)=0\\ \frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dy}}-\frac{2}{\mathrm{y}}\mathrm{x}={\mathrm{y}}^2(\mathrm{y}+1){\mathrm{e}}^{\mathrm{y}}\\ \mathrm{I}\cdot \mathrm{f}={\mathrm{e}}^{\int \frac{-2}{\mathrm{y}}\mathrm{dy}}=\frac{1}{{\mathrm{y}}^2}\\ \mathrm{Solution} \mathrm{is} \\ \mathrm{x}\cdot \frac{1}{{\mathrm{y}}^2}=\int (\mathrm{y}+1){\mathrm{e}}^{\mathrm{y}}\mathrm{dy}\\ \frac{\mathrm{x}}{{\mathrm{y}}^2}=(\mathrm{y}+1){\mathrm{e}}^{\mathrm{y}}-{\mathrm{e}}^{\mathrm{y}}+\mathrm{c}=\mathrm{y}\cdot {\mathrm{e}}^{\mathrm{y}}+\mathrm{c}\\ \mathrm{x}={\mathrm{y}}^3{\mathrm{e}}^{\mathrm{y}}+{\mathrm{cy}}^2\end{array}$
For $\mathrm{x}=0,\mathrm{y}=1\Rightarrow \mathrm{c}=-\mathrm{e}$
$\begin{array}{l}\mathrm{x}={\mathrm{y}}^3{\mathrm{e}}^{\mathrm{y}}-\mathrm{e}\cdot {\mathrm{y}}^2\\ \mathrm{x}\left(\mathrm{e}\right)={\mathrm{e}}^3\left({\mathrm{e}}^{\mathrm{e}}-1\right)\end{array}$