If $\left|\mathrm{x}\right|<\frac{1}{2}$, then the coefficient of ${\mathrm{x}}^{\mathrm{r}}$ in the expansion of $\frac{1+2\mathrm{x}}{(1-2\mathrm{x}{)}^2}$ is

$(1+2\mathrm{x})(1-2\mathrm{x}{)}^{-2}=(1+2\mathrm{x})\sum _{\mathrm{r}=0}^{\infty }\left({ }^{\mathrm{r}+1}{\mathrm{C}}_{\mathrm{r}}{\left(2\mathrm{x}\right)}^{\mathrm{r}}\right)$

$\Rightarrow$coefficient of ${\mathrm{x}}^{\mathrm{r}}=1(\mathrm{coefficient} \mathrm{of} {\mathrm{x}}^{\mathrm{r}})+2\mathrm{x}(\mathrm{coefficient} \mathrm{of} {\mathrm{x}}^{\mathrm{r}-1})$ 

$\Rightarrow$coefficient of$x^r$ is $(\mathrm{r}+1)2^{\mathrm{r}}+\mathrm{r}\cdot 2^{\mathrm{r}}=\left(2r+1\right)2^r$