If x is nearly equal to 1 then value of $\frac{{\mathrm{ax}}^{\mathrm{b}}-{\mathrm{bx}}^{\mathrm{a}}}{{\mathrm{x}}^{\mathrm{b}}-{\mathrm{x}}^{\mathrm{a}}}$ is nearly equal to

Let $$\begin{gathered} \mathrm{substitute} \mathrm{x}=1+\mathrm{h} \mathrm{in} \\ \frac{{\mathrm{ax}}^{\mathrm{b}}-{\mathrm{bx}}^{\mathrm{a}}}{{\mathrm{x}}^{\mathrm{b}}-{\mathrm{x}}^{\mathrm{a}}}=\frac{\mathrm{a}{\left(1+\mathrm{h}\right)}^{\mathrm{b}}-\mathrm{b}{(1+\mathrm{h})}^{\mathrm{a}}}{{(1+\mathrm{h})}^{\mathrm{b}}-{(1+\mathrm{h})}^{\mathrm{a}}}=\frac{\mathrm{a}(1+\mathrm{bh})-\mathrm{b}(1+\mathrm{ah})}{(1+\mathrm{bh})-(1+\mathrm{ah})}=\frac{\mathrm{a}-\mathrm{b}}{\mathrm{h}(\mathrm{b}-\mathrm{a})}=\frac{-1}{\mathrm{h}} \\ \Rightarrow \frac{{\mathrm{ax}}^{\mathrm{b}}-{\mathrm{bx}}^{\mathrm{a}}}{{\mathrm{x}}^{\mathrm{b}}-{\mathrm{x}}^{\mathrm{a}}}=\frac{-1}{\mathrm{h}}=\frac{1}{1-\mathrm{x}} \end{gathered}$$