If x is real, and $\mathrm{y}=\frac{{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}+\mathrm{c}}{{\mathrm{x}}^2+4\mathrm{x}+3}$ takes all real values then

$\begin{array}{l}\mathrm{y}=\frac{{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}+\mathrm{c}}{{\mathrm{x}}^2+4\mathrm{x}+3},\mathrm{x}\in \mathrm{R}\\ \Rightarrow (\mathrm{y}-1){\mathrm{x}}^2+2(2\mathrm{y}-1)\mathrm{x}+(3\mathrm{y}-\mathrm{C})=0\\ \Rightarrow \mathrm{\Delta }\ge 04(2\mathrm{y}-1{)}^2-4(\mathrm{y}-1\left)\right(3\mathrm{y}-2)\ge 0\end{array}$

$\text{This is true }\mathrm{\forall }\mathrm{x}\in \mathrm{R};\therefore \mathrm{\Delta }\le 0\Rightarrow (\mathrm{c}-1)(\mathrm{c}+3)\le 0$

$-3\le \mathrm{c}\le 1\text{ at }\mathrm{c}=-3\text{ amd }\mathrm{c}=1\text{, y cann't take all real numbers }\therefore C\in (-3,1)$