If x is real, then maximum value of $\frac{3{\mathrm{x}}^2+9\mathrm{x}+17}{3{\mathrm{x}}^2+9\mathrm{x}+7}$ is

$$\begin{gathered} \text{⨍ (x)=}\frac{3{\mathrm{x}}^2+9\mathrm{x}+17}{3{\mathrm{x}}^2+9\mathrm{x}+7}\text{=y} \\ 3{\mathrm{x}}^2+9\mathrm{x}+17=3{\mathrm{x}}^2\mathrm{y}+9\mathrm{xy}+7\mathrm{y} \\ 3{\mathrm{x}}^2(1-\mathrm{y})+9\mathrm{x}(1-\mathrm{y})+17-7\mathrm{y}=0 \\ ∆\ge 0 \\ 81{(1-\mathrm{y})}^2-4\times 3(1-\mathrm{y})(17-7\mathrm{y})\ge 0 \\ (1-\mathrm{y})\left[27(1-\mathrm{y})-4(17-7\mathrm{y})\right]\ge 0 \\ (1-\mathrm{y})\left[27-27\mathrm{y}-68+28\mathrm{y}\right]\ge 0 \\ (1-\mathrm{y})\left[\mathrm{y}-41\right]\ge 0 \\ (\mathrm{y}-1) (\mathrm{y}-41) \le 0 \end{gathered}$$

$1\le \mathrm{y}\le 41$

max value = 41