If x, y, z are in A.P. and ${\tan }^{-1}\mathrm{x}, {\tan }^{-1}\mathrm{y}$ and ${\tan }^{-1}\mathrm{z}$ are also in A.P. then

$$\begin{gathered} \mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z}\to \mathrm{A}.\mathrm{P}\Rightarrow \mathrm{y}-\mathrm{x}=\mathrm{z}-\mathrm{y} \\ \begin{array}{c}{\tan }^{-1}\mathrm{x}, {\tan }^{-1}\mathrm{y}, {\tan }^{-1}\mathrm{z}\to \mathrm{A}.\mathrm{P}\\ {\tan }^{-1}\mathrm{y}-{\tan }^{-1}\mathrm{x}={\tan }^{-1}\mathrm{z}-{\tan }^{-1}\mathrm{y}\\ {\tan }^{-1}\left(\frac{\mathrm{y}-\mathrm{x}}{1+\mathrm{xy}}\right)={\tan }^{-1}\left(\frac{\mathrm{z}-\mathrm{y}}{1+\mathrm{zy}}\right)\end{array}\overline{)\begin{array}{c}1+\mathrm{xy}=1+\mathrm{zy} \mathrm{z}=\mathrm{x}\\ 2\mathrm{y}=\mathrm{x}+\mathrm{z}=2\mathrm{z} \mathrm{y}=\mathrm{z}\\ \Rightarrow \mathrm{x}=\mathrm{y}=\mathrm{z}\end{array}} \end{gathered}$$