if x, y,z are in A.P and ${\tan }^{-1}\mathrm{x},{\tan }^{-1}\mathrm{y}\text{ and }{\tan }^{-1}\mathrm{z}$ are also in A.P then

We know that if x, y,z are in A.P then 
$\begin{array}{l}\Rightarrow 2\mathrm{y}=\mathrm{x}+\mathrm{z}\\ Given {\tan }^{-1}\mathrm{x},{\tan }^{-1}\mathrm{y},{\tan }^{-1}\mathrm{z}\text{ are in A.P }\\ \Rightarrow 2{\tan }^{-1}\mathrm{y}={\tan }^{-1}\mathrm{x}+{\tan }^{-1}\mathrm{z}\\ \Rightarrow {\tan }^{-1}\left(\frac{2\mathrm{y}}{1-{\mathrm{y}}^2}\right)={\tan }^{-1}\left(\frac{\mathrm{x}+\mathrm{z}}{1-\mathrm{xz}}\right)\\ \Rightarrow \frac{2\mathrm{y}}{1-{\mathrm{y}}^2}=\frac{\mathrm{x}+\mathrm{z}}{1-\mathrm{xz}}\\ \Rightarrow \frac{\mathrm{x}+\mathrm{z}}{1-{\mathrm{y}}^2}=\frac{\mathrm{x}+\mathrm{z}}{1-\mathrm{xz}}(\because 2\mathrm{y}=\mathrm{x}+\mathrm{z})\\ 1-{\mathrm{y}}^2=1-\mathrm{xz}\\ {\mathrm{y}}^2=\mathrm{zx}\Rightarrow \mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z}\text{ are in G.P }\\ \mathrm{since} \mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z}\text{ are in A.P and also in G.P then}\\ \mathrm{x}=\mathrm{y}=\mathrm{z}\end{array}$