If x,y and z are in A.P and ${\mathrm{Tan}}^{-1} \mathrm{x},{\mathrm{Tan}}^{-1} \mathrm{y}$ and ${\mathrm{Tan}}^{-1} \mathrm{z}$ are also in A.P then

$$\begin{gathered} 2{\mathrm{Tan}}^1 \mathrm{y}={\mathrm{Tan}}^{-1} \mathrm{x}+{\mathrm{Tan}}^{-1} \mathrm{z} \\ \Rightarrow {\tan }^{-1}\left[\frac{2\mathrm{y}}{1-{\mathrm{y}}^2}\right]={\tan }^{-1}\left[\frac{\mathrm{x}+\mathrm{z}}{1-\mathrm{xz}}\right] \\ \Rightarrow \frac{2y}{1-y^2}=\frac{x+z}{1-xz} \\ \sin ce 2y=x+z \\ \Rightarrow {\mathrm{y}}^2=\mathrm{xz} \\ \therefore \mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z} \mathrm{are} \mathrm{in} \mathrm{G}.\mathrm{P} \mathrm{as} \mathrm{well} \mathrm{as} \mathrm{in} \mathrm{A}.\mathrm{P} \end{gathered}$$

$\Rightarrow \mathrm{x}=\mathrm{y}=\mathrm{z}$