If $\mathrm{y}=\frac{{\tan }^{-1}\mathrm{x}-{\cot }^{-1}\mathrm{x}}{{\tan }^{-1}x+{\cot }^{-1}\mathrm{x}},\mathrm{then}$

	List I		List II
(A)	$\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\mathrm{at}\mathrm{x}=-1$	(P)	$\frac{4}{\mathrm{\pi }}$
(B)	$\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\mathrm{at}\mathrm{x}=0$	(Q)	$\frac{2}{3\mathrm{\pi }}$
(C)	$\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\mathrm{at}\mathrm{x}=\sqrt{3}$	(R)	$\frac{2}{\mathrm{\pi }}$
(D)	$\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\mathrm{at}\mathrm{x}=\sqrt{5}$	(S)	$\frac{3}{\mathrm{\pi }}$
		(T)	$\frac{1}{\mathrm{\pi }}$

	(A)	(B)	(C)	(D)
(1)	R	P	T	Q
(2)	R	P	T	S
(3)	R	P	Q	T
(4)	R	P	Q	S

$\mathrm{y}=\frac{{\tan }^{-1}\mathrm{x}-{\cot }^{-1}\mathrm{x}}{{\tan }^{-1}\mathrm{x}+{\cot }^{-1}\mathrm{x}}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\Rightarrow \mathrm{y}=\frac{{\tan }^{-1}\mathrm{x}\mathrm{\hspace{0.17em}}-\left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}-{\tan }^{-1}\mathrm{x}\right)}{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}$
$\mathrm{\hspace{0.17em}}\left(\because {\tan }^{-1}\mathrm{x}+{\cot }^{-1}\mathrm{x}=\frac{\mathrm{\pi }}{2}\Rightarrow {\cot }^{-1}\mathrm{x}=\frac{\mathrm{\pi }}{2}-{\tan }^{-1}\mathrm{x}\right)$
$\Rightarrow \mathrm{y}=\frac{2}{\mathrm{\pi }}\left(2{\tan }^{-1}\mathrm{x}-\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)\Rightarrow \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{2}{\mathrm{\pi }}\times \frac{2}{1+{\mathrm{x}}^2}=\frac{4}{\mathrm{\pi }\left(1+{\mathrm{x}}^2\right)}$
$\left(\frac{dy}{dx}\right)$
$\begin{array}{l}\mathrm{at}\mathrm{x}=-1\Rightarrow \frac{2}{\mathrm{\pi }}\\ \mathrm{at}\mathrm{x}=0\Rightarrow \frac{4}{\mathrm{\pi }}\\ \mathrm{at}\mathrm{x}=\sqrt{3}\Rightarrow \frac{1}{\mathrm{\pi }}\\ \mathrm{at}\mathrm{x}=\sqrt{5}\Rightarrow \frac{2}{3\mathrm{\pi }}\end{array}$