If $y\left(t\right)$ is a solution of  $\left(1+t\right)\frac{dy}{dt}-ty=1$ and $y\left(0\right)=-1$ then y(1) is equal to 

$\frac{dy}{dt}-\frac{t}{1+t}.y=\frac{1}{1+t}$

$IF=e^{\int \frac{-t-1+1}{1+t}dt}=e^{\log \left(1+t\right)-t}$

$=e^{\log \left(1+t\right)}{e}^{-t}=\left(1+t\right)e^{-t}$

$y\left(1+t\right)e^{-t}=\int e^{-t}\left(1+t\right)\frac{1}{1+t}dt$

$y\left(1+t\right)e^{-t}=-e^{-t}+c$

$y\left(1+t\right)=c{e}^t-1$

$y\left(0\right)=-1\Rightarrow c=0$

$t=1\Rightarrow y=\frac{-1}{1+t}=\frac{-1}{2}$