If Y=${\tan }^{-1}\left(\frac{1}{1+x+x^2}\right)+{\tan }^{-1}\left(\frac{1}{x^2+3x+3}\right)+{\tan }^{-1}\left(\frac{1}{x^2+5x+7}\right)+.....$up to n terms then y¹(0)=

$$\begin{gathered} \mathrm{y}={\tan }^{-1}\left(\frac{1}{1+\mathrm{x}+{\mathrm{x}}^2}\right)+{\tan }^{-1}\left(\frac{1}{{\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}+3}\right)+..... \\ \mathrm{y}={\tan }^{-1}\left(\frac{\mathrm{x}+1-\mathrm{x}}{1+\mathrm{x}(\mathrm{x}+1)}\right)+{\tan }^{-1}\left(\frac{\mathrm{x}+2-(\mathrm{x}+1)}{1+(\mathrm{x}+2)(\mathrm{x}+1)}\right)+\dots {\tan }^{-1}\left(\frac{\mathrm{x}+\mathrm{n}-(\mathrm{x}+(\mathrm{n}-1\left)\right)}{1+(\mathrm{x}+\mathrm{n})(\mathrm{x}+\mathrm{n}-1)}\right) \\ ={\tan }^{-1}\left(\mathrm{x}+1\right)-{\tan }^{-1}\mathrm{x}+{\tan }^{-1}(\mathrm{x}+2)-{\tan }^{-1}(\mathrm{x}+1)+\dots +{\tan }^{-1}(\mathrm{x}+\mathrm{n})-{\tan }^{-1}(\mathrm{x}+\mathrm{n}-1) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{y}={\tan }^{-1}(\mathrm{x}+\mathrm{n})-{\tan }^{-1}\mathrm{x} \\ \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{1}{1+{(\mathrm{x}+\mathrm{n})}^2}-\frac{1}{1+{\mathrm{x}}^2} \\ {\left(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\right)}_{\mathrm{x}=0}=\frac{1}{1+{\mathrm{n}}^2}-1 \\ =\frac{-{\mathrm{n}}^2}{1+{\mathrm{n}}^2} \end{gathered}$$