If Z = x + iy then the centre of the circle $\left|\frac{\mathrm{Z} - 3}{\mathrm{Z} - 2\mathrm{i}}\right| = 2$ is

$$\begin{gathered} \left|\mathrm{z}-3\right|=2 \left|\mathrm{z}-2\mathrm{i}\right| \\ \mathrm{sub} \mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{iy} \\ \Rightarrow \left|(\mathrm{x}-3)+\mathrm{iy}\right|=2\left|\mathrm{x}+\mathrm{i}(\mathrm{y}-2)\right| \\ \therefore \sqrt{{(\mathrm{x}-3)}^2+{\mathrm{y}}^2}=2\sqrt{{\mathrm{x}}^2+{(\mathrm{y}-2)}^2} \\ \Rightarrow {\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2-6\mathrm{x}+9=4({\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2-4\mathrm{y}+4) \\ \Rightarrow 3{\mathrm{x}}^2+3{\mathrm{y}}^2+6\mathrm{x}-16\mathrm{y}+7=0 \\ \therefore {\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2+2\mathrm{x}-\frac{16}{3}\mathrm{y}+\frac{7}{3}=0 \\ \boxed{\mathrm{centre}=\left(-1, \frac{8}{3}\right)} \end{gathered}$$