If ${\mathrm{\alpha }}_0,{\mathrm{\alpha }}_1,{\mathrm{\alpha }}_2,\dots \dots {\mathrm{\alpha }}_{\mathrm{n}-1}$ be the n^th roots of unity, then value of $\sum _{\mathrm{i}=0}^{\mathrm{n}-1} \frac{{\mathrm{\alpha }}_{\mathrm{i}}}{\left(3-{\mathrm{x}}_{\mathrm{i}}\right)}=$

Let $\mathrm{P}=\sum _{\mathrm{i}=0}^{\mathrm{n}-1} \frac{{\mathrm{\alpha }}_{\mathrm{i}}}{3-{\mathrm{\alpha }}_{\mathrm{i}}}=-\sum _{\mathrm{i}=0}^{\mathrm{n}-1} \frac{\left(3-{\mathrm{\alpha }}_{\mathrm{i}}\right)-3}{\left(3-{\mathrm{\alpha }}_{\mathrm{i}}\right)}$
    $=3\sum _{\mathrm{i}=0}^{\mathrm{n}-1} \frac{1}{3-{\mathrm{\alpha }}_{\mathrm{i}}}-\sum _{\mathrm{i}=0}^{\mathrm{n}-1} 1-$
${\mathrm{Z}}^{\mathrm{n}}-1=\prod _{\mathrm{i}=0}^{\mathrm{n}-1} \left(\mathrm{Z}-{\mathrm{\alpha }}_{\mathrm{i}}\right)$

$\log \left({\mathrm{Z}}^{\mathrm{n}}-1\right)=\sum _{\mathrm{i}=0}^{\mathrm{n}-1} \ln \left(\mathrm{Z}-{\mathrm{\alpha }}_{\mathrm{i}}\right)$
Diff. both sides w.r.t Z
$\begin{array}{l}\frac{{\mathrm{nZ}}^{\mathrm{n}-1}}{{\mathrm{Z}}^{\mathrm{n}}-1}=\sum _{\mathrm{i}=0}^{\mathrm{n}-1} \frac{1}{\mathrm{z}-{\mathrm{\alpha }}_{\mathrm{i}}}\text{ Put }\mathrm{Z}=3\Rightarrow \frac{\mathrm{n}{3}^{\mathrm{n}-1}}{3^{\mathrm{n}}-1}=\sum _{\mathrm{i}=0}^{\mathrm{n}-1} \frac{1}{3-{\mathrm{\alpha }}_{\mathrm{i}}}\\ \mathrm{P}=\frac{3\mathrm{n}{3}^{\mathrm{n}-1}}{3^{\mathrm{n}}-1}-\mathrm{n}=\frac{\mathrm{n}{3}^{\mathrm{n}}}{3^{\mathrm{n}}-1}-\mathrm{n}=\frac{\mathrm{n}}{3^{\mathrm{n}}-1}\end{array}$