If $0<\mathrm{a}, \mathrm{b}<1,$ and ${\tan }^{-1}\mathrm{a}+{\tan }^{-1}\mathrm{b}=\frac{\mathrm{\pi }}{4},$ then the value $\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)-\left(\frac{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2}{2}\right)+\left(\frac{{\mathrm{a}}^3+{\mathrm{b}}^3}{3}\right)-\left(\frac{{\mathrm{a}}^4+{\mathrm{b}}^4}{4}\right)+···$is

$$\begin{gathered} {\tan }^{-1}\left(\frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}}{1-\mathrm{ab}}\right)=\raisebox{1ex}{$\mathrm{\pi }$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$4$}\right. \Rightarrow \frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}}{1-\mathrm{ab}}=1 \\ \mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{ab}=1 \Rightarrow (1+\mathrm{a}) (1+\mathrm{b})=2 \\ \left(\mathrm{a}-\frac{{\mathrm{a}}^2}{2}+\frac{{\mathrm{a}}^3}{3}-\frac{{\mathrm{a}}^4}{4}....\right)+\left(\mathrm{b}-\frac{{\mathrm{b}}^2}{2}+\frac{{\mathrm{b}}^3}{3}....\right) \\ \log (1+\mathrm{x})=\mathrm{x}-\frac{{\mathrm{x}}^2}{2}+\frac{{\mathrm{x}}^3}{3}-\frac{{\mathrm{x}}^4}{4}---- \\ \log (1+\mathrm{a})+\log (1+\mathrm{b})=\log (1+\mathrm{a}) (1+\mathrm{b}) \\ =\log 2 \end{gathered}$$