$$\begin{gathered} \mathrm{If} 0\le \mathrm{x}\le 2\mathrm{\pi }, \mathrm{then} \mathrm{the} \mathrm{number} \mathrm{of} \mathrm{real} \mathrm{values} \mathrm{of} \mathrm{x}, \mathrm{Which} \mathrm{satisfy} \mathrm{the} \mathrm{equation} \\ \sin \mathrm{x}+\sin 2\mathrm{x}+\sin 3\mathrm{x}+\sin 4\mathrm{x}=0 \mathrm{is} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{sinx}+\sin 2\mathrm{x}+\sin 3\mathrm{x}+\sin 4\mathrm{x}=0 \\ \sin 4\mathrm{x}+\sin 2\mathrm{x}+\sin 3\mathrm{x}+\sin \mathrm{x}=0 \\ 2 \sin 3\mathrm{x} \mathrm{cosx}+2 \sin 2\mathrm{x} \mathrm{cosx}=0 \\ 2 \mathrm{cosx}(\sin 3\mathrm{x}+\sin 2\mathrm{x})=0 \\ \mathrm{cosx}=0, 2\sin \frac{5\mathrm{x}}{2} \cos \frac{\mathrm{x}}{2}=0 \\ \mathrm{x}=\mathrm{n\pi }+\frac{\mathrm{\pi }}{2}, \frac{5\mathrm{x}}{2}=2\mathrm{\pi }\Rightarrow \mathrm{x}=\frac{2\mathrm{n\pi }}{5} \\ \frac{\mathrm{x}}{2}=2\mathrm{\pi }+\frac{\mathrm{\pi }}{2} \\ \mathrm{x}=(2\mathrm{n}+1)\mathrm{\pi } \\ \mathrm{x}=\frac{\mathrm{\pi }}{2},\frac{3\mathrm{\pi }}{2},\mathrm{\pi },\frac{2\mathrm{\pi }}{5},\frac{4\mathrm{\pi }}{5},\frac{6\mathrm{\pi }}{5},\frac{8\mathrm{\pi }}{5},2\mathrm{\pi },0 \\ \mathrm{No}.\mathrm{of} \mathrm{solutions} \mathrm{are} 9 \end{gathered}$$