If $1,\mathrm{\omega },{\mathrm{\omega }}^2,\dots ,{\mathrm{\omega }}^{\mathrm{n}-1}$ are n, nth roots of unity, the value of $(9-\mathrm{\omega })\left(9-{\mathrm{\omega }}^2\right)\dots \left(9-{\mathrm{\omega }}^{\mathrm{n}-1}\right)$ will be

$\begin{array}{l}\mathrm{let} \mathrm{x}=(1{)}^{1/\mathrm{n}}\\ {\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}-1=0\\ \mathrm{or} {\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}-1=(\mathrm{x}-1)(\mathrm{x}-\mathrm{\omega })\left(\mathrm{x}-{\mathrm{\omega }}^2\right)\dots \left(\mathrm{x}-{\mathrm{\omega }}^{\mathrm{n}-1}\right)\\ \Rightarrow \frac{{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}-1}{\mathrm{x}-1}=(\mathrm{x}-\mathrm{\omega })\left(\mathrm{x}-{\mathrm{\omega }}^2\right)\dots \left(\mathrm{x}-{\mathrm{\omega }}^{\mathrm{n}-1}\right)\end{array}$

Putting x = 9 in both sides, we have

$(9-\mathrm{\omega })\left(9-{\mathrm{\omega }}^2\right)\left(9-{\mathrm{\omega }}^3\right)\dots \left(9-{\mathrm{\omega }}^{\mathrm{n}-1}\right)=\frac{9^{\mathrm{n}}-1}{8}$