If $1,{\mathrm{a}}_1,{\mathrm{a}}_2,\dots ,{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}-1}$ are the n^th roots of unity, then $\left(1-{\mathrm{a}}_1\right)\left(1-{\mathrm{a}}_2\right)\left(1-{\mathrm{a}}_3\right)\dots \left(1-{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}-1}\right)=$

Let $\sqrt[\mathrm{n}]{1}=\mathrm{x};\therefore {\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}=1;\therefore {\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}-1=0$

$\begin{array}{l}\therefore {\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}-1=(\mathrm{x}-1)\left(\mathrm{x}-{\mathrm{a}}_1\right)\left(\mathrm{x}-{\mathrm{a}}_2\right)\dots \left(\mathrm{x}-{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}-1}\right)\\ \therefore \left(\mathrm{x}-{\mathrm{a}}_1\right)\left(\mathrm{x}-{\mathrm{a}}_2\right)\left(\mathrm{x}-{\mathrm{a}}_3\right)\dots \left(\mathrm{x}-{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}-1}\right)\\ =\frac{{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}-1}{\mathrm{x}-1}=\frac{1-{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}}{1-\mathrm{x}}=1+\mathrm{x}+{\mathrm{x}}^2+,\dots ,+{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}-1}\end{array}$

Putting x = 1, we get

$\left(1-{\mathrm{a}}_1\right)\left(1-{\mathrm{a}}_2\right)\left(1-{\mathrm{a}}_3\right)\dots \left(1-{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}-1}\right)=\mathrm{n}$