If $\frac{1}{{\log }_{2}a}+\frac{1}{{\log }_{4}a}+\frac{1}{{\log }_{8}a}+\frac{1}{{\log }_{16}a}+\cdots \cdots$ to n terms $=\frac{n(n+1)}{2k}$, then $k=$

If $\frac{1}{{\log }_{2}a}+\frac{1}{{\log }_{4}a}+\frac{1}{{\log }_{8}a}+\frac{1}{{\log }_{16}a}+\cdots \cdots$ to n terms $=\frac{n(n+1)}{2k}$, then $k=$

$\Rightarrow {\log }_{a}2+{\log }_{a}4+{\log }_{a}8+\cdots \cdots$ to $n$ terms $=\frac{n(n+1)}{2k}$

$\Rightarrow {\log }_{a}2+{\log }_a{2}^2+{\log }_a{2}^3+\cdots \cdots$ to $n$ terms $=\frac{n(n+1)}{2k}$

$\Rightarrow {\log }_{a}2+2{\log }_{a}2+3{\log }_{a}2+\cdots \cdots$ to $n$ terms $=\frac{n(n+1)}{2k}$

$\Rightarrow {\log }_{a}2(1+2+3+\cdots \cdots +n)$ $=\frac{n(n+1)}{2k}$

$\Rightarrow {\log }_{a}2\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)=\frac{n(n+1)}{2k}$

$\Rightarrow {\log }_{a}2=\frac{1}{k}$

Hence $k={\log }_{2}a$