If ${\left(1+x+x^2\right)}^n=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+..........+a_{2n}{x}^2$then prove that 

$\left(i\right)a_0+a_1+a_2+......+a_{2n}=3^n$

$\left(ii\right)$$a_0+a_1+a_4+......+a_{2n}=\frac{3^n+1}{2}$

$\left(iii\right)$$a_1+a_3+a_5+......+a_{2n-1}=\frac{3^n-1}{2}$

$\left(iv\right) a_0+a_3+a_6+..........+=3^{n-1}$

Given $a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+......+a_{2n}{x}^{2n}={\left(1+x+x^2\right)}^n$

$Put x=1$

$a_0+a_1+a_2+......+a_{2n}={\left(1+1+1\right)}^n$

$a_0+a_1+a_2+.........$$a_{2n}=3^n\to \left(1\right)$

$Put x=-1$

$a_0+a_1\left(-1\right)+a_2{\left(-1\right)}^2+......+a_{2n}{\left(-1\right)}^{2n}={\left(1-1+1\right)}^n$

$a_0-a_1+a_2-a_3+..........+a_{2n}=1\to \left(2\right)$

$\left(1\right)+\left(2\right)\Rightarrow 2\left[a_0+a_2+a_4+.........\right]=3^n+1$

$a_0+a_2+a_4+......+a_{2n}=\frac{3^n+1}{2}$

$\left(1\right)-\left(2\right)\Rightarrow 2\left[a_1+a_3+a_5+........\right]=3^n-1$

$a_1+a_3+a_5+.......=\frac{3^n-1}{2}$

$If x=\omega then$$a_0+a_1\omega +a_2\omega +a_3{\omega }^3+..........+a_{2n}{\omega }^{2n}={\left(1+\omega +{\omega }^2\right)}^n$

$a_0+a_1\omega +a_2{\omega }^2+a_3+..........+a_{2n}{\omega }^{2n}=0\to \left(3\right)$

$If x={\omega }^2 then$

$a_0+a_1{\omega }^2+a_2{\omega }^4+a_3{\omega }^6+..........$$+a_{2n}{\omega }^{2n}={\left(1+{\omega }^2+{\omega }^4\right)}^n$

$a_0+a_1{\omega }^2+a_2\omega +a_3+..........=0\to \left(4\right)$

$\left(1\right)+\left(3\right)+\left(4\right)$

$3a_0+a_1\left(1+\omega +{\omega }^2\right)+a_2\left(1+{\omega }^2+\omega \right)+3a_3..........=3^n$

$3a_0+a_1\left(0\right)+a_2\left(0\right)+3a_3+0+0+3a_6+..........=3^n$

$3\left(a_0+a_3+a_6+............\right)=3^n$

$a_0+a_3+a_6+...........=\frac{3^n}{3}$

$a_0+a_3+a_6+...........=3^{n-1}$