If ${\left(1+\mathrm{x}+{\mathrm{x}}^2\right)}^{\mathrm{n}}={\mathrm{c}}_0+{\mathrm{c}}_1\mathrm{x}+{\mathrm{c}}_2{\mathrm{x}}^2+\dots$, then the value of $c_0{c}_1-c_1{c}_2+c_2{c}_3-\dots$ is

${\mathrm{c}}_0+{\mathrm{c}}_1\mathrm{x}+{\mathrm{c}}_2{\mathrm{x}}^2+\dots +{\mathrm{c}}_{2\mathrm{n}}{\mathrm{x}}^{2\mathrm{n}}={\left(1+\mathrm{x}+{\mathrm{x}}^2\right)}^{\mathrm{n}}\to \left(1\right)$

Replacing x by $\frac{-1}{\mathrm{x}}$ we get ${\mathrm{c}}_0-\frac{{\mathrm{c}}_1}{\mathrm{x}}+\frac{{\mathrm{c}}_2}{{\mathrm{x}}^2}-\frac{{\mathrm{c}}_3}{{\mathrm{x}}^3}+\dots +\frac{{\mathrm{c}}_{2\mathrm{n}}}{{\mathrm{x}}^{2\mathrm{n}}}=\frac{{\left({\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}+1\right)}^{\mathrm{n}}}{{\mathrm{x}}^{2\mathrm{n}}}\to \left(2\right)$

Multiplying (1) and (2) we get

$\left({\mathrm{c}}_0+{\mathrm{c}}_1\mathrm{x}+{\mathrm{c}}_2{\mathrm{x}}^2+\dots +{\mathrm{c}}_{2\mathrm{n}}{\mathrm{x}}^{2\mathrm{n}}\right)\left({\mathrm{c}}_0-\frac{{\mathrm{c}}_1}{\mathrm{x}}+\frac{{\mathrm{c}}_2}{{\mathrm{x}}^2}-\frac{{\mathrm{c}}_3}{{\mathrm{x}}^3}+\dots +\frac{{\mathrm{c}}_{2\mathrm{n}}}{{\mathrm{x}}^{2\mathrm{n}}}\right)=\frac{{\left({\mathrm{x}}^4+{\mathrm{x}}^2+1\right)}^{\mathrm{n}}}{{\mathrm{x}}^{2\mathrm{n}}}$

${\mathrm{c}}_0{\mathrm{c}}_1-{\mathrm{c}}_1{\mathrm{c}}_2+{\mathrm{c}}_2{\mathrm{c}}_3-\dots =-\mathrm{coef}.\frac{1}{\mathrm{x}}\text{ in }\frac{{\left({\mathrm{x}}^4+{\mathrm{x}}^2+1\right)}^{\mathrm{n}}}{{\mathrm{x}}^{2\mathrm{n}}}=-\mathrm{coef}.{\mathrm{x}}^{2\mathrm{n}-1}\text{ in }{\left({\mathrm{x}}^4+{\mathrm{x}}^2+1\right)}^{\mathrm{n}}=0$