$\mathrm{If} 2\cos x+2\cos 3x=\cos y \mathrm{and} 2\sin \mathrm{x}+2\sin 3\mathrm{x}=\sin \mathrm{y}\text{ then }\cos 2\mathrm{x}=$

$$\begin{gathered} 2\cos x+2\cos 3x=\cos y \mathrm{and} 2\sin \mathrm{x}+2\sin 3\mathrm{x}=\sin \mathrm{y} \\ \mathrm{squaring} \mathrm{and} \mathrm{adding} \mathrm{both} \mathrm{equations} \\ \Rightarrow {\left(2\cos \mathrm{x}+2\cos 3\mathrm{x}\right)}^2+{\left(2\sin \mathrm{x}+2\sin 3\mathrm{x}\right)}^2={\cos }^2\mathrm{y}+{\sin }^2\mathrm{y} \\ \Rightarrow 4\left({\cos }^2\mathrm{x}+{\sin }^2\mathrm{x}\right)+4\left({\cos }^{2}3\mathrm{x}+{\sin }^{2}3\mathrm{x}\right)+8\left(\cos 3\mathrm{xcos}\mathrm{x}+\sin 3\mathrm{xsin}\mathrm{x}\right)=1 \\ \Rightarrow 4+4+8\cos (3\mathrm{x}-\mathrm{x})=1\Rightarrow \cos 2\mathrm{x}=\frac{-7}{8} \end{gathered}$$