If $\left|\mathrm{a}\right|<1,\mathrm{b}=\sum _{\mathrm{k}=1}^{\infty }\frac{{\mathrm{a}}^{\mathrm{k}}}{\mathrm{k}}\Rightarrow \mathrm{a}=$

$\begin{array}{rcl}\mathrm{b}& =& \sum _{\mathrm{k}=1}^{\infty } \frac{{\mathrm{a}}^{\mathrm{k}}}{\mathrm{k}}\\ \mathrm{b}& =& \mathrm{a}+\frac{{\mathrm{a}}^2}{2}+\frac{{\mathrm{a}}^3}{3}+.......\infty \\ & =& -\log (1-\mathrm{a})\\ {\mathrm{e}}^{-\mathrm{b}}& =& 1-\mathrm{a}\\ \mathrm{a}& =& 1-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{b}}\\ & =& 1-\left(1-\mathrm{b}+\frac{{\mathrm{b}}^2}{\overline{)\underline{2}}}-\frac{{\mathrm{b}}^3}{\overline{)\underline{3}}}.....\right)\\ & =& \sum _{\mathrm{k}=1}^{\infty }\frac{{(-1)}^{\mathrm{k}-1}{\mathrm{b}}^{\mathrm{k}}}{\mathrm{k}!}\end{array}$