If $$\begin{gathered} {\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2+{\mathrm{c}}^2=-2 \mathrm{and} \\ \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\left|\begin{array}{ccc}1+{\mathrm{a}}^2\mathrm{x}& (1+{\mathrm{b}}^2)\mathrm{x}& (1+{\mathrm{c}}^2)\mathrm{x}\\ (1+{\mathrm{a}}^2)\mathrm{x}& 1+{\mathrm{b}}^2\mathrm{x}& (1+{\mathrm{c}}^2)\mathrm{x}\\ (1+{\mathrm{a}}^2)\mathrm{x}& (1+{\mathrm{b}}^2)\mathrm{x}& 1+{\mathrm{c}}^2\mathrm{x}\end{array}\right| \\ \mathrm{then} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right) \mathrm{is} \mathrm{a} \mathrm{polynomial} \mathrm{of} \mathrm{degree} \end{gathered}$$

$\begin{array}{rcl}{\mathrm{C}}_1& \to & {\mathrm{C}}_1+{\mathrm{C}}_2+{\mathrm{C}}_3\\ & =& \left|\begin{array}{ccc}1+2\mathrm{x}\left({\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2+{\mathrm{c}}^2\right)\mathrm{x}& (1+{\mathrm{b}}^2)\mathrm{x}& (1+{\mathrm{c}}^2)\mathrm{x}\\ 1+2\mathrm{x}+\left({\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2+{\mathrm{c}}^2\right)\mathrm{x}& 1+{\mathrm{b}}^2\mathrm{x}& (1+{\mathrm{c}}^2)\mathrm{x}\\ 1+2\mathrm{x}+\left({\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2+{\mathrm{c}}^2\right)\mathrm{x}& (1+{\mathrm{b}}^2)\mathrm{x}& 1+{\mathrm{c}}^2\mathrm{x}\end{array}\right|\\ & =& \left|\begin{array}{ccc}1& \left(1+{\mathrm{b}}^2\right)\mathrm{x}& \left(1+{\mathrm{c}}^2\right)\mathrm{x}\\ 1& 1+{\mathrm{b}}^2\mathrm{x}& \left(1+{\mathrm{c}}^2\right)\mathrm{x}\\ 1& \left(1+{\mathrm{b}}^2\right)\mathrm{x}& 1+{\mathrm{c}}^2\mathrm{x}\end{array}\right| \left(\therefore {\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2+{\mathrm{c}}^2=-2\right)\\ & =& \left|\begin{array}{ccc}1& \left(1+{\mathrm{b}}^2\right)\mathrm{x}& \left(1+{\mathrm{c}}^2\right)\mathrm{x}\\ 0& 1-\mathrm{x}& 0\\ 0& 0& 1-\mathrm{x}\end{array}\right| \left({\mathrm{R}}_2\to {\mathrm{R}}_2-{\mathrm{R}}_1, {\mathrm{R}}_3\to {\mathrm{R}}_3-{\mathrm{R}}_1\right)\\ & =& {\left(1-\mathrm{x}\right)}^2\end{array}$

$\therefore f\left(\mathrm{x}\right)$ is a polynomial of degree '2'