If $\mathrm{a}+2\mathrm{b}+3\mathrm{c}=12,\left(\mathrm{a},\mathrm{b},\mathrm{c}\in {\mathrm{R}}^{+}\right)$,then ${\mathrm{ab}}^2{\mathrm{c}}^3$ is 

Given that,$\mathrm{a}+2\mathrm{b}+3\mathrm{c}=12$

and a, b, c  are  positive  real numbers

Now,   $\mathrm{AM}\ge \mathrm{GM}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow \hspace{0.25em}\hspace{0.25em}\hspace{0.25em}\hspace{0.25em}\frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{b}+\mathrm{c}+\mathrm{c}+\mathrm{c}}{6}\ge \sqrt[6]{{\mathrm{ab}}^2{\mathrm{c}}^3}\\ \Rightarrow \hspace{0.25em}\hspace{0.25em}\hspace{0.25em}\hspace{0.25em}\frac{\mathrm{a}+2\mathrm{b}+3\mathrm{c}}{6}\ge \sqrt[6]{{\mathrm{ab}}^2{\mathrm{c}}^3}\Rightarrow {\mathrm{ab}}^2{\mathrm{c}}^3\le 2^6\end{array}$