If $(\mathrm{a}+\sqrt{2}\mathrm{bcos} \mathrm{x})\cdot (\mathrm{a}-\sqrt{2}\mathrm{bcos} \mathrm{y})={\mathrm{a}}^2-{\mathrm{b}}^2$ where $\mathrm{a}>\mathrm{b}>0$ they $\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dy}}$ at , $\left(\frac{\mathrm{\pi }}{4},\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)$ is

$(\mathrm{a}+\sqrt{2}\mathrm{bcos} \mathrm{x})(\mathrm{a}-\sqrt{2}\mathrm{bcos} \mathrm{y})={\mathrm{a}}^2-{\mathrm{b}}^2$ d.w.r.t' ' y '

$$\begin{gathered} \begin{array}{rr}(\mathrm{a}+\sqrt{2}\mathrm{bcos} \mathrm{x})(\sqrt{2}\mathrm{bsin} \mathrm{y})+(\mathrm{a}-\sqrt{2}\mathrm{bcos} \mathrm{y})(-\sqrt{2}\mathrm{bsin} \mathrm{x})\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dy}}=0 \\ \Rightarrow \frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dy}}=\frac{(\mathrm{a}+\sqrt{2}\mathrm{bcos} \mathrm{x})(\sqrt{2}\mathrm{bsin} \mathrm{y})}{(\mathrm{a}-\sqrt{2\mathrm{b}}\cos \mathrm{y})(\sqrt{2} b\sin \mathrm{x})}& \mathrm{ }\end{array} \end{gathered}$$$\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dy}}(\mathrm{\pi }/4,\mathrm{\pi }/4)=\frac{\left(\mathrm{a}+\sqrt{2}\mathrm{b}\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\left(\sqrt{2} b \frac{1}{\sqrt{2}}\right)}{\left(\mathrm{a}-\sqrt{2}\mathrm{b}\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\left(\sqrt{2}\mathrm{b}\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}=\frac{(\mathrm{a}+\mathrm{b})\left(\mathrm{b}\right)}{(\mathrm{a}-\mathrm{b})\left(\mathrm{b}\right)}=\frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}}{\mathrm{a}-\mathrm{b}}$