If $\overrightarrow{\mathrm{a}}\times \left(\overrightarrow{\mathrm{b}}\times \overrightarrow{\mathrm{c}}\right)$  is perpendicular to $\left(\overrightarrow{\mathrm{a}}\times \overrightarrow{\mathrm{b}}\right)\times \overrightarrow{\mathrm{c}},$ then we may have
 

$$\begin{gathered} \left(\overline{\mathrm{a}}\times (\overline{\mathrm{b}}\times \overline{\mathrm{c}})\right) \perp \left(\overline{\mathrm{a}}\times \overline{\mathrm{b}}\right)\times \overline{\mathrm{c}} \\ \left(\left(\overline{\mathrm{a}}·\overline{\mathrm{c}}\right)\overline{\mathrm{b}}-(\overline{\mathrm{a}}·\overline{\mathrm{b}})\overline{\mathrm{c}}\right)·\left(\left(\overline{\mathrm{a}}·\overline{\mathrm{c}}\right)\overline{\mathrm{b}}-(\overline{\mathrm{b}}·\overline{\mathrm{c}})\overline{\mathrm{a}}\right)=0 \\ {(\overline{\mathrm{a}}·\overline{\mathrm{c}})}^2 {\left|\overline{\mathrm{b}}\right|}^2-(\overline{\mathrm{a}}·\overline{\mathrm{b}}) (\overline{\mathrm{b}}·\overline{\mathrm{c}}) (\overline{\mathrm{a}}·\overline{\mathrm{c}}) \\ -(\overline{\mathrm{a}}·\overline{\mathrm{b}}) (\overline{\mathrm{a}}·\overline{\mathrm{c}}) (\overline{\mathrm{b}}·\overline{\mathrm{c}})+(\overline{\mathrm{a}}·\overline{\mathrm{b}}) (\overline{\mathrm{b}}·\overline{\mathrm{c}}) (\overline{\mathrm{c}}·\overline{\mathrm{a}})=0 \\ \mathrm{let} \overline{\mathrm{a}}·\overline{\mathrm{b}}=\mathrm{x} \overline{\mathrm{b}}·\overline{\mathrm{c}}=\mathrm{y} \overline{\mathrm{c}}·\overline{\mathrm{a}}=\mathrm{z} \\ {\mathrm{z}}^2|\overline{\mathrm{b}}{|}^2-2\mathrm{xyz}+\mathrm{xyz}=0 \\ {\mathrm{z}}^2 |\mathrm{b}{|}^2=\mathrm{xyz} \Rightarrow \mathrm{z}=0 \\ \overline{\mathrm{a}}·\overline{\mathrm{c}} =0 \end{gathered}$$