If $A,B,C$ are angles of triangle then 

i) $\tan A+\tan B+\tan C=\tan A \tan B t\mathrm{an}C$

ii) $\cot A\cot B+\cot B\cot C+\cot C\cot A=1$

i) $A+B+C=\pi \Rightarrow A+B=\pi -C$

Apply $‘Tan’$ on both sides

$\mathrm{Tan} (A+B)=\mathrm{Tan} (\pi -C)$

$\Rightarrow \frac{\mathrm{Tan} A+\mathrm{Tan} B}{1-\mathrm{Tan} A\mathrm{Tan} B}=-\mathrm{Tan} C$

$\Rightarrow \mathrm{Tan} A+\mathrm{Tan} B=-\mathrm{Tan} C+\mathrm{Tan} A\mathrm{Tan} B\mathrm{Tan} C$

$\Rightarrow \mathrm{Tan} A+\mathrm{Tan} B+\mathrm{Tan} C=\mathrm{Tan} A\mathrm{Tan} B\mathrm{Tan} C$

ii) $A+B+C=\pi \Rightarrow A+B=\pi -C$

Apply ‘Cot’ on both sides 

$\mathrm{Cot}(A+B)=\mathrm{Cot} (\pi -C)$

$\mathrm{Cot} A\mathrm{Cot} B-1=-\mathrm{Cot}C \mathrm{Cot}B-\mathrm{Cot}C \cot A$

$\mathrm{Cot}A \mathrm{Cot}B+\mathrm{Cot}B \mathrm{Cot}C+\mathrm{Cot}C \mathrm{Cot} A=1$