If $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ are real and ${\mathrm{x}}^3-3{\mathrm{b}}^2\mathrm{x}+2{\mathrm{c}}^3$ is divisible by $\mathrm{x}-\mathrm{a}$ and $\mathrm{x}-\mathrm{b}$, then

As $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{x}}^3-3{\mathrm{b}}^2\mathrm{x}+2{\mathrm{c}}^3$ is divisible by $\mathrm{x}-\mathrm{a}$ and $\mathrm{x}-\mathrm{b}$, therefore

$\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)=0\Rightarrow {\mathrm{a}}^3-3{\mathrm{b}}^2\mathrm{a}+2{\mathrm{c}}^3=0 ...\left(\mathrm{i}\right)$

and $\mathrm{f}\left(\mathrm{b}\right)=0\Rightarrow {\mathrm{b}}^3-3{\mathrm{b}}^3+2{\mathrm{c}}^3=0 ...\left(\mathrm{ii}\right)$

From $\left(\mathrm{ii}\right), \mathrm{b}=\mathrm{c}$

From $\left(\mathrm{i}\right), {\mathrm{a}}^3-3{\mathrm{ab}}^2+2{\mathrm{b}}^3=0 (\mathrm{putting} \mathrm{b}=\mathrm{c})$

$\Rightarrow (\mathrm{a}-\mathrm{b})({\mathrm{a}}^2+\mathrm{ab}-2{\mathrm{b}}^2)=0$

$\Rightarrow \mathrm{a}=\mathrm{b} \mathrm{or} {\mathrm{a}}^2+\mathrm{ab}=2{\mathrm{b}}^2$

Thus $\mathrm{a}=\mathrm{b}=\mathrm{c} \mathrm{or} {\mathrm{a}}^2+\mathrm{ab}=2{\mathrm{b}}^2 \mathrm{and} \mathrm{b}=\mathrm{c}$

${\mathrm{a}}^2+\mathrm{ab}=2{\mathrm{b}}^2$ is satisfied by $\mathrm{a}=-2\mathrm{b}. \mathrm{But} \mathrm{b}=\mathrm{c}.$

$\therefore {\mathrm{a}}^2+\mathrm{ab}-2{\mathrm{b}}^2$

and $\mathrm{b}=\mathrm{c}$ is equivalent to $\mathrm{a}=-2\mathrm{b}=-2\mathrm{c}$