If $a,b,c$ are real and $x^3-3b^{2}x+2c^3$ is divided by $x-a$and $x-b$, then

It is given that $f\left(x\right)=x^3-3b^{2}x+2c^3$ is divisible by $x-a$ and $x-b\text{. }$

$\therefore f\left(a\right)=0$ and $f\left(b\right)=0$

$\Rightarrow a^3-3b^{2}a+2c^3=0$                          …(i)

and $b^3-3b^3+2c^3=0$                          …(ii)

From (ii),  we get $b =c.$

Putting, $b =c$ in (i), we get

$\begin{array}{l}{a}^3-3a{b}^2+2b^3-0\\ \Rightarrow (a-b)\left(a^2+ab-2b^2\right)=0\end{array}$

$\Rightarrow a=b$ or $\Rightarrow a = b$

Thus, $a=b=c$or $\text{, }{a}^2+ab=2b^2$and $b=c$

Clearly, $a^2+ab=2b^2$is satisfied by $a=-2b\text{. }$

$a^2+ab=2b^2$ and $b=c$

$\Rightarrow a=-2b$and $b=c\Rightarrow a=-2b=-2c$