If $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ are unit vectors, then the maximum value  of 

$|2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}{|}^2+|2\overrightarrow{b}-3\overrightarrow{c}{|}^2+|2\overrightarrow{c}-3\overrightarrow{a}{|}^2 \text{ is }$

$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}{|}^2\ge 0\Rightarrow 3+2(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}+\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a})\ge 0$

$\Rightarrow -2(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}+\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a})\le 3$                            ……(i)

Now $\mathrm{\Sigma }|2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}{|}^2$ 

$=12+27-12\mathrm{\Sigma }\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\le 39+18=57,\text{ by (i). }$