$\text{If }\mathrm{A}+\mathrm{B}+\mathrm{C}+\mathrm{D}=2\mathrm{\pi },\text{ then }\cos 2\mathrm{A}+\cos 2\mathrm{B}+\cos 2\mathrm{C}+\cos 2\mathrm{D}=$

$\begin{array}{l}=2\cos (\mathrm{A}+\mathrm{B})\cdot \cos (\mathrm{A}-\mathrm{B})+2\cos (\mathrm{C}+\mathrm{D})\cos (\mathrm{C}-\mathrm{D})\\ =2\cos (\mathrm{A}+\mathrm{B})[\cos (\mathrm{A}-\mathrm{B})+\cos (\mathrm{C}-\mathrm{D}\left)\right]\\ =2\cos (\mathrm{A}+\mathrm{B})\left(2\cos \left(\frac{\mathrm{A}-\mathrm{B}+\mathrm{C}-\mathrm{D}}{2}\right)\cdot \cos \left(\frac{\mathrm{A}-\mathrm{B}-\mathrm{C}+\mathrm{D}}{2}\right)\right)\\ =4\cos (\mathrm{A}+\mathrm{B})\cos \left[\frac{\mathrm{A}+\mathrm{C}-[2\mathrm{\pi }-(\mathrm{A}+\mathrm{C}\left)\right]}{2}\right]\cdot \cos \frac{\mathrm{A}+\mathrm{D}-[2\mathrm{\pi }-(\mathrm{A}+\mathrm{D}\left)\right]}{2}\\ =4\cos (\mathrm{A}+\mathrm{B})\cos (\mathrm{A}+\mathrm{C})\cos (\mathrm{A}+\mathrm{D})\end{array}$