If $\mathrm{a}<\mathrm{b}<\mathrm{c}<\mathrm{d},$then the roots of the equation $(\mathrm{x}-\mathrm{a})(\mathrm{x}-\mathrm{c})+2(\mathrm{x}-\mathrm{b})(\mathrm{x}-\mathrm{d})=0$ are

Given equation can be rewritten as

$3{\mathrm{x}}^2-(\mathrm{a}+\mathrm{c}+2\mathrm{b}+2\mathrm{d})\mathrm{x}+(\mathrm{ac}+2\mathrm{bd})=0$

Its discriminant D

$={(\mathrm{a}+\mathrm{c}+2\mathrm{b}+2\mathrm{d})}^2-4.3(\mathrm{ac}+2\mathrm{bd})$

$={\left\{(\mathrm{a}+2\mathrm{d})+(\mathrm{c}+2\mathrm{b})\right\}}^2-12\left(\mathrm{ac}+2\mathrm{bd}\right)$

$={\left\{\left(\mathrm{a}+2\mathrm{d}\right)-\left(\mathrm{c}+2\mathrm{b}\right)\right\}}^2-8\mathrm{ac}+8\mathrm{ab}+8\mathrm{dc}-8\mathrm{bd}$

$={\left\{\left(\mathrm{a}+2\mathrm{d}\right)-(\mathrm{c}+2\mathrm{b})\right\}}^2+8(\mathrm{c}-\mathrm{b})(\mathrm{d}-\mathrm{a})$

Which is $+\mathrm{ve},$ since $\mathrm{a}<\mathrm{b}<\mathrm{c}<\mathrm{d}.$ Hence roots are real and distinct.