If $A+B+C=\pi$ then prove that ${\cos }^2\frac{A}{2}+{\cos }^2\frac{B}{2}+{\cos }^2\frac{C}{2}=2\left[1+\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}\right]$

$\text{ L.H.S. }={\cos }^2\frac{A}{2}+{\cos }^2\frac{B}{2}+{\cos }^2\frac{C}{2}$

$={\cos }^2\frac{A}{2}+1-{\sin }^2\frac{B}{2}+{\cos }^2\frac{C}{2}$

$=1+\left[{\cos }^2\frac{A}{2}-{\sin }^2\frac{B}{2}\right]+{\cos }^2\frac{C}{2}$

$=1+\cos \left[\frac{A}{2}+\frac{B}{2}\right]\cos \left[\frac{A}{2}-\frac{B}{2}\right]+{\cos }^2\frac{C}{2}$

$\left[\because {\cos }^{2}A-{\sin }^{2}B=\cos (A+B)\cos (A-B)\right]$

$=1+\cos \left[{90}^0-\frac{C}{2}\right]\cos \left(\frac{A}{2}-\frac{B}{2}\right)+{\cos }^2\frac{C}{2}$

$\left[\because A+B+C=\pi \Rightarrow \frac{A}{2}+\frac{B}{2}=\frac{\pi }{2}-\frac{C}{2}\right]$

$=1+\sin \frac{C}{2}\cos \left(\frac{A}{2}-\frac{B}{2}\right)+1-{\sin }^2\frac{C}{2}$

$=2+\sin \frac{C}{2}\cos \left(\frac{A}{2}-\frac{B}{2}\right)-{\sin }^2\frac{C}{2}$

$=2+\sin \frac{C}{2}\left[\cos \left(\frac{A}{2}-\frac{B}{2}\right)-\sin \frac{C}{2}\right]$

$=2+\sin \frac{C}{2}\left[\cos \left(\frac{A}{2}-\frac{B}{2}\right)-\sin \left(\frac{\pi }{2}-\left(\frac{A}{2}+\frac{B}{2}\right)\right)\right]$

$\left[\because \frac{C}{2}=\frac{\pi }{2}-\left(\frac{A}{2}+\frac{B}{2}\right)\right]$

$=2+\sin \frac{C}{2}\left[\cos \left(\frac{A}{2}-\frac{B}{2}\right)-\cos \left(\frac{A}{2}+\frac{B}{2}\right)\right]$

$=2+\sin \frac{C}{2}\left[2\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\right]$

$[\because \cos (A-B)-\cos (A+B)=2\sin A\sin B]$

$=2+2\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}=\text{ R.H.S. }$

$\text{ L.H.S = R.H.S. }$