If $A+B+C=\pi$ then prove that ${\sin }^2\frac{A}{2}+{\sin }^2\frac{B}{2}-{\sin }^2\frac{C}{2}=1-2\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}$

$\text{ L.H.S. }={\sin }^2\frac{A}{2}+{\sin }^2\frac{B}{2}-{\sin }^2\frac{C}{2}$

$=1-{\cos }^2\frac{A}{2}+{\sin }^2\frac{B}{2}-{\sin }^2\frac{C}{2}$

$=1-\left[{\cos }^2\frac{A}{2}-{\sin }^2\frac{B}{2}\right]-{\sin }^2\frac{C}{2}$

$=1-\cos \left(\frac{A}{2}+\frac{B}{2}\right)\cos \left(\frac{A}{2}-\frac{B}{2}\right)-{\sin }^2\frac{C}{2}$

$\left[\because {\cos }^{2}A-{\sin }^{2}B=\cos (A+B)\cos (A-B)\right]$

$=1-\cos \left(\frac{\pi }{2}-\frac{C}{2}\right)\cos \left(\frac{A}{2}-\frac{B}{2}\right)-{\sin }^2\frac{C}{2}$

$\left[\because A+B+C=\pi \Rightarrow \frac{A}{2}+\frac{B}{2}=\frac{\pi }{2}-\frac{C}{2}\right]$

$=1-\sin \frac{C}{2}\cdot \cos \left(\frac{A}{2}-\frac{B}{2}\right)-{\sin }^2\frac{C}{2}$

$=1-\sin \frac{C}{2}\left[\cos \left(\frac{A}{2}-\frac{B}{2}\right)+\sin \frac{C}{2}\right]$

$=1-\sin \frac{C}{2}\left[\cos \left(\frac{A}{2}-\frac{B}{2}\right)+\sin \left(\frac{\pi }{2}-\left(\frac{A}{2}+\frac{B}{2}\right)\right)\right]$

$\left[\because \frac{C}{2}=\frac{\pi }{2}-\left(\frac{A}{2}+\frac{B}{2}\right)\right]$

$=1-\sin \frac{C}{2}\left[\cos \left(\frac{A}{2}-\frac{B}{2}\right)+\cos \left(\frac{A}{2}+\frac{B}{2}\right)\right]$

$=1-\sin \frac{C}{2}\left[2\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}\right]$

$[\because \cos (A-B)+\cos (A+B)=2\cos A\cos B]$

$=1-2\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2};\text{ L.H.S. }=\text{ R.H.S. }$