If $\mathrm{a}=\mathrm{cis} \mathrm{\alpha }, \mathrm{b}=\mathrm{cis} \mathrm{\beta }, \mathrm{c}=\mathrm{cis} \mathrm{\gamma }$ and $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}+\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{c}}+\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}=1,$ then $\sum \cos \left(\mathrm{\alpha }-\mathrm{\beta }\right)=$

$\begin{array}{rcl}\mathrm{a}& =& \mathrm{cis} \mathrm{\alpha }, \mathrm{b}=\mathrm{cis} \mathrm{\beta }, \mathrm{c}=\mathrm{cis} \mathrm{\gamma }\end{array}$

$\begin{array}{rcl}\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}+\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{c}}+\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}& =& 1\end{array}$

$\begin{array}{rcl}\frac{\mathrm{cis} \mathrm{\alpha }}{\mathrm{cis} \mathrm{\beta }}+\frac{\mathrm{cis} \mathrm{\beta }}{\mathrm{cis} \mathrm{\gamma }}+\frac{\mathrm{cis} \mathrm{\gamma }}{\mathrm{cis} \mathrm{\alpha }}& =& 1\end{array}$

$\begin{array}{rcl}\mathrm{cis}(\mathrm{\alpha }-\mathrm{\beta })+\mathrm{cis}(\mathrm{\beta }-\mathrm{\gamma })+\mathrm{cis}(\mathrm{\gamma }-\mathrm{\alpha })& =& 1\end{array}$

$\begin{array}{rcl} & \Rightarrow & \cos (\mathrm{\alpha }-\mathrm{\beta })+\mathrm{i} \sin (\mathrm{\alpha }-\mathrm{\beta })+\cos (\mathrm{\beta }-\mathrm{\gamma })+\mathrm{i} \sin (\mathrm{\beta }-\mathrm{\gamma })+\cos (\mathrm{\gamma }-\mathrm{\alpha })+\mathrm{i} \sin (\mathrm{\gamma }-\mathrm{\alpha })=\end{array}=1$

$\begin{array}{rcl} & \Rightarrow & \left(\cos \left(\mathrm{\alpha }-\mathrm{\beta }\right)+\cos (\mathrm{\beta }-\mathrm{\gamma })+\cos (\mathrm{\gamma }-\mathrm{\alpha })\right) +\mathrm{i}\left(\sin \left(\mathrm{\alpha }-\mathrm{\beta }\right)+\sin (\mathrm{\beta }-\mathrm{\gamma })+\sin (\mathrm{\gamma }-\mathrm{\alpha })\right)=\end{array}$

$\therefore \sum \cos (\mathrm{\alpha }-\mathrm{\beta })=1$