If $\mathrm{Amp}\left(\frac{\mathrm{z} + 2}{\mathrm{z} - 4\mathrm{i}}\right) = \frac{\mathrm{\pi }}{2}$ then the locus of z = x + iy is

$$\begin{gathered} \mathrm{Amp} \left(\frac{\mathrm{z}+2}{\mathrm{z}-4\mathrm{i}}\right)=\frac{\mathrm{\pi }}{2}, \mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{iy} \\ \mathrm{Amp} \left(\frac{(\mathrm{x}+2)+\mathrm{iy}}{\mathrm{x}+\mathrm{i}(\mathrm{y}-4)}\right)=\frac{\mathrm{\pi }}{2} \\ {\mathrm{Tan}}^{-1} \frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}+2}-{\mathrm{Tan}}^{-1} \frac{\mathrm{y}-4}{\mathrm{x}}=\frac{\mathrm{\pi }}{2} \\ \frac{{\displaystyle \frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}+2}}-{\displaystyle \frac{\mathrm{y}-4}{\mathrm{x}}}}{1+{\displaystyle \frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}+2}}.{\displaystyle \frac{\mathrm{y}-4}{\mathrm{x}}}}=\infty \Rightarrow \frac{\cancel{\mathrm{xy}}-\cancel{\mathrm{xy}}-\mathrm{xy}+4\mathrm{x}+8}{\mathrm{x}(\mathrm{x}+2)+\mathrm{y}(\mathrm{y}-4)}=\infty \\ \Rightarrow \mathrm{x}(\mathrm{x}+2)+\mathrm{y}(\mathrm{y}-4)=0 \mathrm{and} -2\mathrm{y}+4\mathrm{x}+8>0 \\ \Rightarrow \boxed{ {\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2+2\mathrm{x}-4\mathrm{y}=0 \mathrm{and} 2\mathrm{x}-\mathrm{y}+4>0} \end{gathered}$$