If $\mathrm{a}=\sum _{\mathrm{n}=1}^{\infty }\frac{\left(2\mathrm{n}\right)}{\left(2\mathrm{n}-1\right)!}, \mathrm{b}=\sum _{\mathrm{n}=1}^{\infty }\frac{\left(2\mathrm{n}\right)}{\left(2\mathrm{n}+1\right)!}$ then $\mathrm{ab}=$

$\begin{array}{rcl}\mathrm{a}& =& \sum _{\mathrm{n}=1}^{\infty } \frac{2\mathrm{n}}{\overline{)\underline{2\mathrm{n}-1}}}\\ & =& \sum _{\mathrm{n}=1}^{\infty } \frac{(2\mathrm{n}-1)+1}{\overline{)\underline{2\mathrm{n}-1}}}\\ & =& \sum _{\mathrm{n}=1}^{\infty } \left(\frac{1}{\overline{)\underline{2\mathrm{n}-1}}}+\frac{1}{\overline{)\underline{2\mathrm{n}-1}}}\right)\\ & =& \left(\frac{1}{\overline{)\underline{0}}}+\frac{1}{\overline{)\underline{1}}}+\frac{1}{\underline{\overline{)2}}}+\frac{1}{\overline{)3}}+...\right)\\ & =& \mathrm{e}\\ \mathrm{b}& =& \sum _{\mathrm{n}=1}^{\infty } \frac{2\mathrm{n}}{\overline{)\underline{2\mathrm{n}-1}}}=\sum _{\mathrm{n}=1}^{\infty } \frac{\left(2\mathrm{n}+1\right)-1}{\overline{)\underline{2\mathrm{n}-1}}}\\ & =& \sum _{\mathrm{n}=1}^{\infty } \left(\frac{1}{\overline{)\underline{2\mathrm{n}}}}-\frac{1}{\overline{)\underline{2\mathrm{n}+1}}}\right)\\ & =& \left(\frac{1}{\overline{)\underline{2}}}-\frac{1}{\overline{)\underline{3}}}\right)+\left(\frac{1}{\overline{)\underline{4}}}-\frac{1}{\overline{)\underline{5}}}\right)+....\\ & =& {\mathrm{e}}^{-1}\\ \mathrm{ab}& =& 1\end{array}$