If $A\ne n\pi /n\in Z$  prove that $\cos A \cos 2A \cos 4A \cos 8A=\frac{\sin 16A}{16\sin A}$  hence deduce that

$\mathrm{Cos}\frac{2\pi }{15}\mathrm{Cos}\frac{4\pi }{15}\mathrm{Cos}\frac{8\pi }{15}\mathrm{Cos}\frac{16\pi }{15}=\frac{1}{16}$

Let  $C=\mathrm{Cos}A \mathrm{Cos}2A \mathrm{Cos}4A \mathrm{Cos}8A$

and $S=\mathrm{Sin}A \mathrm{Sin}2A \mathrm{Sin}4A \mathrm{Sin}8A$

$C\times S=\mathrm{Cos}A \mathrm{Sin}A \mathrm{Cos}2A \mathrm{Sin}2A \mathrm{Cos}4A \mathrm{Sin}4A Cos8A Sin 8A$

$=\frac{1}{2}(2\mathrm{Cos}A \mathrm{Sin}A)\frac{1}{2}(2\mathrm{Cos}2A \mathrm{Sin}2A)\frac{1}{2}(\mathrm{Cos}4A \mathrm{Sin}4A)\frac{1}{2}(\mathrm{Cos}8A \mathrm{Sin}8A)$

$C\times S=\frac{1}{16}\mathrm{Sin}2A\mathrm{Sin}4A\mathrm{Sin}8A\mathrm{Sin}16A$

$C=\frac{1}{16}\frac{\mathrm{Sin}2A\mathrm{Sin}4A\mathrm{Sin}8A\mathrm{Sin}16A}{S}$

$C=\frac{1}{16}\frac{\mathrm{Sin}\cancel{2}A \mathrm{Sin}\cancel{4}A \mathrm{Sin}\cancel{8}A \mathrm{Sin}16A}{\mathrm{Sin}A \mathrm{Sin}\cancel{2}A \mathrm{Sin}\cancel{4}A \mathrm{Sin}\cancel{8}A}$

$C=\frac{\mathrm{Sin}16A}{16\mathrm{Sin}A}$

$\Rightarrow \mathrm{Cos}A\cdot \mathrm{Cos}2A\cdot \mathrm{Cos}4A\cdot \mathrm{Cos}8A=\frac{\mathrm{Sin}16A}{16\mathrm{Sin}A}$

Put  $A=\frac{2\pi }{15}$

$\mathrm{Cos}\frac{2\pi }{15}\mathrm{Cos}\frac{4\pi }{15}\mathrm{Cos}\frac{8\pi }{15}\mathrm{Cos}\frac{16\pi }{15}=\frac{\mathrm{Sin}16\frac{2\pi }{15}}{16\mathrm{Sin}\frac{2\pi }{15}}$

$=\frac{\mathrm{Sin}\frac{32\pi }{15}}{16\mathrm{Sin}\frac{2\pi }{15}}=\frac{\mathrm{Sin}\left(2\pi +\frac{2\pi }{15}\right)}{16\mathrm{Sin}\frac{2\pi }{15}}=\frac{\mathrm{Sin}\frac{2\pi }{15}}{16\mathrm{Sin}\frac{2\pi }{15}}=\frac{1}{16}$