If ${\mathrm{a}}_{\mathrm{r}}$ is the coefficient ${\mathrm{x}}^{\mathrm{r}}$ in the expansion of ${\left(1+\mathrm{x}+{\mathrm{x}}^2\right)}^{\mathrm{n}}$ then ${\mathrm{a}}_1-2{\mathrm{a}}_2+3{\mathrm{a}}_3-\dots -2{\mathrm{na}}_{2\mathrm{n}}=$

${(1+\mathrm{x}+{\mathrm{x}}^2)}^{\mathrm{n}}={\mathrm{a}}_0+{\mathrm{a}}_1 \mathrm{x}+{\mathrm{a}}_2{\mathrm{x}}^2+....+{\mathrm{a}}_{2\mathrm{n}} {\mathrm{x}}^{2\mathrm{n}}$

Differentiate w.r.t x

$\begin{array}{rcl}\mathrm{n}{(1+\mathrm{x}+{\mathrm{x}}^2)}^{\mathrm{n}-1} (1+2\mathrm{x})& =& {\mathrm{a}}_1+2{\mathrm{a}}_2\mathrm{x}+3{\mathrm{a}}_3{\mathrm{x}}^2+....+2\mathrm{n} {\mathrm{a}}_{2\mathrm{n}} {\mathrm{x}}^{2\mathrm{n}-1}\\ \mathrm{Put} \mathrm{x}& =& 1\\ \mathrm{n}(-1)& =& {\mathrm{a}}_1-2{\mathrm{a}}_2+3{\mathrm{a}}_3-4{\mathrm{a}}_4- .... -2\mathrm{n} {\mathrm{a}}_{2\mathrm{n}}\end{array}$