If $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ satisfies the equation $\overrightarrow{\mathrm{a}}\times \left(\hat{\mathrm{i}}+2\hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}}\right)=\hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{k}},$ then $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ is equal to 
 

$$\begin{gathered} \mathrm{let} \overline{\mathrm{a}}=\mathrm{xi}+\mathrm{yj}+\mathrm{zk} \\ \overline{\mathrm{a}}\times (\mathrm{i}+2\mathrm{j}+\mathrm{k})=\mathrm{i}-\mathrm{k} \\ \left|\begin{array}{ccc}\mathrm{i}& \mathrm{j}& \mathrm{k}\\ \mathrm{x}& \mathrm{y}& \mathrm{z}\\ 1& 2& 1\end{array}\right|=\mathrm{i}-\mathrm{k} \\ \mathrm{i}(\mathrm{y}-2\mathrm{z})-\mathrm{j}(\mathrm{x}-\mathrm{z})+\mathrm{k}(2\mathrm{x}-\mathrm{y})=\mathrm{i}-\mathrm{k} \\ \mathrm{y}-2\mathrm{z}=1 \mathrm{x}=\mathrm{z} \mathrm{y}-2\mathrm{x}=1 \\ \mathrm{y}=1+2\mathrm{z} \\ \overline{\mathrm{a}} =\mathrm{zi}+(1+2\mathrm{z})\mathrm{j}+\mathrm{zk} \end{gathered}$$